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Zur Behandlung mathematischer Probleme, wie sie z.B. bei der
Lösung mathematischer Gleichungen auftreten, existieren Hilfsmittel,
die unter der Bezeichnung "Algebra" zusammengefaßt
werden.
Auch in der Digitaltechnik müssen komplexe Probleme mit
geeigneten mathematischen Methoden behandelt werden.
Allerdings reduziert die Digitaltechnik die Anzahl der möglichen
Informationszustände auf genau zwei. Obwohl für diese
Zustände unterschiedliche Bezeichnungen üblich sind,
wie z.B. 0/1, true/false,
usw., zeigt sich eine starke Ähnlichkeit mit einem anderen
Gebiet der Mathematik, der "formalen Logik".
Glücklicherweise existiert eine Logik, die für das
hier vorliegende zweielementige Informationssystem entwickelt
wurde. Es handelt sich um eine algebraische Struktur, die von
dem englischen Mathematiker George Boole entwickelt und
in dessen berühmter Veröffentlichung
"An Investigation of the Laws of Thought" beschrieben wurde.
Diese Algebra wird inzwischen nach George Boole als "Boolesche
Algebra" bezeichnet. Ihre große Bedeutung
beruht auf ihren vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten.
Sie eignet sich zur Behandlung mengenalgebraischer Probleme, zur
algebraischen Darstellung der Aussagenlogik sowie zur algebraischen
Beschreibung umd Manipulation von Schaltkreisen.
Die Boolesche Algebra kann heute in vier Gebiete unterteilt werden:
Für die Digitaltechnik sind allerdings nur die ersten
drei Gebiete von Bedeutung:
George Boole's Arbeiten wurden von anderen Mathematikern ergänzt,
wobei insbesondere Hamilton,
de Morgan und
Shannon zu erwähnen
sind.
Das Verdienst Claude E. Shannons ist es, die Anwendungsmöglichkeit
der Booleschen Algebra bei der Behandlung von Schaltnetzen erkannt
zu haben. Er zeigte, daß die prinzipiellen Eigenschaften
von Serien- und Parallelschaltungen von Schaltern und Relais mit
der zweielementigen Logik besonders gut beschrieben werden können.
Das von Claude Shannon grundlegend behandelte Spezialgebiet
der Booleschen Algebra wird heute als "Schaltalgebra"
bezeichnet.
1.2.1 Grundlagen der Booleschen Algebra
Die Boolesche Algebra soll an dieser Stelle in vereinfachter
Form als ein System von Regeln (Postulaten und Theoremen) eingeführt
werden, in dem die Verknüpfungen zwischen den binär
(zweielementig) dargestellten Informationen beschrieben werden.
Die zugrundeliegenden Operationen werden algebraisch durch Funktionen
vermittelt, die als Boolesche Funktionen bezeichnet werden (abgekürzt: BFkten).
Diese Booleschen Funktionen zeichnen sich (per Definition)
durch zwei Eigenschaften aus:
Jedes Funktionsargument (jeder Operand) kann nur den Wert "0" oder "1" annehmen,
Der Funktionswert (d.h. das Ergebnis, das nach Anwendung der
Funktion auf die Operanden erhalten wird) kann ebenfalls nur den
Wert "0" oder "1" annehmen.
Anmerkung:
Der Begriff der Booleschen Funktion muß ausdrücklich unterschieden
werden von dem Begriff der Binäroperation
bzw. der Binärfunktion:
Eine uneingeschränkt definierte Funktion kann eine beliebig
große Anzahl von Argumenten (Operanden) n haben.
Hat die Funktion n = 1 Operanden, so spricht man von einer "unären Operation". Das bekannteste Beispiel einer unären Operation ist die Vorzeichenoperation ("+","-").
Hat die betrachtete Funktion n = 2 Operanden, so
spricht man von einer "binären Operation"
(Binäroperation). Beispiele sind die Operationen "Addition",
"Subtraktion", etc..
Der gleiche Begriff "Binäroperation" wird auch
dann häufig verwendet, wenn die Argumente nur binäre
Werte (0/1) annehmen dürfen. Da an dieser Stelle auch Operationen
behandelt werden sollen, die eine beliebige Anzahl binärer
(dualer) Operanden besitzen können, entsteht offenbar ein
Begriffskonflikt.
Zur Vermeidung dieser Mehrdeutigkeit wird für alle n-stelligen
Funktionen (n = 1,2, ...), deren Argumente und
Resultate binäre Größen sind, der Begriff "Boolesche
Funktion" verwendet.
1.2.2 Mengendarstellungen in der Booleschen Algebra
Um die Regeln der Booleschen Algebra anschaulicher einzuführen,
können aus der Mengenlehre bekannte Anschaungsformen herangezogen
werden. Die grafische Beschreibung durch sogenannte Mengendiagramme
erweist sich in diesem Zusammenhang als besonders geeignet.
Definition des Begriffes Menge:
Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, unterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen.
Diese unterscheidbaren Objekte werden als Elemente der Menge bezeichnet.
Eine Menge kann definiert werden durch die Aufzählung
ihrer Elemente.
Beispiele für Mengen:
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